高考中的分段函数
江苏省海门中学 陈燕琴 226100
摘要：分段函数是一类重要的函数，能有效考查函数的概念及性质,主要是与分段函数有关的概念、值域、性质，分段函数与方程、不等式、参数、数形结合、应用等知识。近几年，高考中对分段函数的考查也越来越多，分段函数已经成为高考之“宠儿”。
关键词：分段函数；函数与方程；不等式
一、考查分段函数的求值（值域）问题
例1.（1）（2013年福建卷）已知函数
，则
-2.
（2）（2013年北京卷）函数
的值域为
【评注】直接根据自变量求值（值域）是分段函数中最常见最基本的题型，解题时需注意自变量在不同区间对应不同的解析式，选择分段代值（求值域）。
变式训练1（2012年江苏卷）设
是定义在
上且周期为2的函数，在区间
上，
其中
.若
，则
的值为 .
解析：∵
是定义在上且周期为2的函数，∴
，即
①。又∵
，
，∴
②。联立①②，解得，
，
二、考查分段函数的性质
例2.（1）（2012年上海卷）已知函数
（
为常数）。若在区间
上是增函数，则的取值范围是
（2）（2013年湖北卷）
为实数,
表示不超过的最大整数,则函数
在
上为（ ）
A．奇函数 B.偶函数 C．增函数 D．周期函数
【解析】（1）令
，则在区间
上单调递增，而
为增函数，所以要是函数
在单调递增，则有
，所以的取值范围是
.
（2）当
时，
，
；当
时，
，
；当
时，
，
；画出简图可判断选项D正确
【评注】分段函数性质也就是对函数的三大性质：单调性、奇偶性、周期性进行考查；在处理分段函数性质问题时，性质的定义是根本、分段分类是通法、图象则是有效的工具。
三、考查分段函数的不等式问题
例3．（2013年高考课标Ⅰ卷）已知函数
，若
,则
的取值范围是________________.
【解析】
，
由得
①
且
②.由①可得
，
；分离参数,可化为
恒成立，即
,所以
；所以综合①②得
【评注】解与分段函数相关的不等式问题，通常要采用分类讨论的方法.
四、考查分段函数的零点（方程）问题
例4（2012年福建卷）对于实数和
，定义运算“
”：
，
设
，且关于的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是_________________.
【解析】由定义
，画图，若方程
有三个根，则
，且当
时方程可化为
，易知
；当
时方程可解得
，令
，且设
，则
，可判断在
内函数单减，所以
。
【评注】 求解与分段函数有关的方程时，需要在分段函数定义域的不同区间内求解方程。
变式训练2（2012年天津卷）已知函数
的图象与函数
的图象恰有个交点，则实数
的取值范围是______.解析： 
或
。
分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解方程、不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合的重要数学思想方法。